はじめに
今回は基礎理論の分野から、確率の「乗法定理」と「加法定理」を取り上げる。基本情報技術者試験では、システムの故障率やデータの発生確率などを題材に、確率の基本法則を問う問題が頻出する。難しい公式ではないが、「独立」「排反」といった前提条件の違いを見落とすと誤答につながりやすいため、丁寧に整理していこう。
乗法定理（2つの事象が同時に起こる確率）
乗法定理は、2つの事象がどちらも起こる確率を求める際に使う法則である。
独立事象の場合
事象Aと事象Bが互いに独立している（一方の結果がもう一方に影響を与えない）場合、AとBが両方起こる確率は、それぞれの確率の積で求められる。
P(A かつ B) = P(A) × P(B)例題
サイコロを1回振って偶数の目が出る確率と、コインを1回投げて表が出る確率をそれぞれ求め、両方とも成功する確率を求めよ。
- サイコロで偶数の目が出る確率：P(A) = 3/6 = 1/2
- コインで表が出る確率：P(B) = 1/2
サイコロとコインの結果は互いに影響しないため独立事象であり、次のように計算する。
P(A かつ B) = 1/2 × 1/2 = 1/4
したがって、両方とも成功する確率は1/4となる。
従属事象の場合
一方の事象が起こることで、もう一方の確率が変化する場合（従属事象）は、条件付き確率を用いる。
P(A かつ B) = P(A) × P(B|A)ここで P(B|A) は「Aが起こったという条件のもとでのBの確率」を表す。
例題
袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出し、それを戻さずにもう1個取り出すとき、1個目が赤玉、2個目も赤玉である確率を求めよ。
- 1個目が赤玉である確率：P(A) = 3/5
- 1個目を戻さないため、袋の中には赤玉2個、白玉2個の合計4個が残る。2個目が赤玉である確率：P(B|A) = 2/4 = 1/2
P(A かつ B) = 3/5 × 1/2 = 3/10したがって、確率は3/10となる。試験では「戻す（復元抽出）」か「戻さない（非復元抽出）」かで確率が変わる点が問われやすいため、問題文の条件を必ず確認する必要がある。
加法定理（いずれかの事象が起こる確率）
加法定理は、事象Aまたは事象Bが起こる確率を求める際に使う法則である。事象同士の関係が「排反」か「排反でない」かによって式が異なる。
排反事象の場合
事象Aと事象Bが同時には起こりえない（排反）場合、AまたはBが起こる確率は、それぞれの確率の和で求められる。
P(A または B) = P(A) + P(B)例題
サイコロを1回振って、1の目が出る確率と6の目が出る確率をそれぞれ求め、1または6の目が出る確率を求めよ。
- 1の目が出る確率：P(A) = 1/6
- 6の目が出る確率：P(B) = 1/6
1の目と6の目は同時に出ることはないため排反事象であり、次のように計算する。
P(A または B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3排反でない事象の場合
事象Aと事象Bが同時に起こりうる場合は、単純に足し合わせると重複部分を二重に数えてしまう。そのため、重複部分（AかつBが起こる確率）を差し引く必要がある。
P(A または B) = P(A) + P(B) - P(A かつ B)例題
1から20までの数字が1つずつ書かれたカードから1枚引くとき、「3の倍数」または「偶数」が出る確率を求めよ。
- 3の倍数（3, 6, 9, 12, 15, 18）：6枚 → P(A) = 6/20
- 偶数（2, 4, 6, …, 20）：10枚 → P(B) = 10/20
- 3の倍数かつ偶数（6の倍数：6, 12, 18）：3枚 → P(A かつ B) = 3/20
P(A または B) = 6/20 + 10/20 - 3/20 = 13/20したがって、確率は13/20となる。3の倍数と偶数は同時に成立するカード（6の倍数）が存在するため排反ではなく、重複分を引く必要がある点がポイントである。
判断の分かれ目：独立・従属・排反・排反でない
確率の問題を解く際にまず確認すべきは、次の2つがポイントである。
- 乗法定理を使う場面か、加法定理を使う場面か
- 「AとBの両方」→ 乗法定理（かつ）
- 「AまたはB」→ 加法定理（または）
- 事象同士の関係はどうか
- 乗法定理：独立か従属か（条件付き確率が必要か）
- 加法定理：排反か排反でないか（重複を引く必要があるか）
この2段階の判断を先に行ってから式を立てると、迷いなく計算に入ることができる。
おわりに
確率の乗法定理・加法定理は、公式自体は単純であるものの、事象の関係性（独立・従属・排反・排反でない）を見誤ると誤答につながりやすい分野である。
問題文を読んだ際に、まず事象同士の関係を整理する習慣をつけておくとよい。次回は「期待値」を取り上げる。
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